Definición de Binomio de Newton

El binomio de Newton es una fórmula general para expandir la potencia n-ésima de un binomio, resultando dicho desarrollo en un polinomio o bien en una serie infinita de potencias. Así mismo, se lo denomina teorema del binomio.

Con frecuencia, en Matemática surge la necesidad de desarrollar expresiones de la forma \({{\left( a+b \right)}^{n}}\), con “a”, “b” y “n” pertenecientes al conjunto de los números reales. Un ejemplo es el cálculo del interés compuesto.

Para los primeros valores enteros y positivos de n es fácil encontrar el desarrollo, las fórmulas para los productos notables funcionan muy bien para n = 2 y n =3, pero para valores mayores a estos dos, valores negativos y valores fraccionarios, encontrar el desarrollo puede ser algo engorroso.

Para estos casos, se emplea el desarrollo del binomio de Newton, como sigue:

\({{\left( {a+b} \right)}^{n}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \end{array}} \right){{a}^{n}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right){{a}^{{n-1}}}\cdot b+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right){{a}^{{n-2}}}\cdot {{b}^{2}}+\ldots +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-2} \end{array}} \right){{a}^{2}}\cdot {{b}^{{n-2}}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right)a\cdot {{b}^{{n-1}}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ n \end{array}} \right){{b}^{n}}\)

La expresión puede escribirse en forma más compacta, empleando notación de sumatorias:

\({{\left( {a+b} \right)}^{n}}=\underset{{m=0}}{\overset{\infty }{\mathop \sum }}\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ m \end{array}} \right){{a}^{{n-m}}}{{b}^{m}}\)

Los coeficientes de cada potencia: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \end{array}} \right)\), \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right)\), \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right)\)… son números combinatorios, llamados coeficientes binomiales, muy fáciles de calcular, a través de la siguiente fórmula:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ m \end{array}} \right)=\frac{{n!}}{{m!\cdot \left( {n-m} \right)!}}\)

Los signos de exclamación denotan números factoriales. El factorial de un número cualquiera es el producto entre n y todos los enteros que le siguen, hasta llegar a 1:

\(n!=n\cdot \left( n-1 \right)\cdot \left( n-2 \right)\cdot \left( n-3 \right)\ldots 1\)

Por ejemplo:

\(5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120\)

Se utiliza el signo de admiración en la notación porque el factorial de un número es un valor mucho más grande que el valor original, el cual crece rápidamente, lo cual es motivo de asombro.

Además, por definición se considera que el factorial de 0 es igual a 1, así:

\(0!=1\)

Parece que los antiguos matemáticos babilonios del tercer milenio a.C ya conocían el teorema del binomio, pero solamente para valores de “n” enteros y positivos. Fue el gran Isaac Newton (1642-1727), quien lo generalizó para cualquier valor real del exponente “n” y por tal motivo pasó a llamarse “binomio de Newton”.

Propiedades del binomio de Newton

1. El desarrollo del binomio, cuando n es positivo, tiene n+1 términos.

2. La fórmula dada para el teorema del binomio es válida cuando el exponente “n” es fraccionario o negativo, siempre y cuando se cumpla que a > b y a > 0, pero en estos casos, el número de términos es infinito, pasando a llamarse una “serie”.

3. La potencia de “a” que aparece en el primer término es siempre \({{a}^{n}}\), y el exponente “n” va disminuyendo progresivamente en 1 unidad, hasta hacerse 0.

4. En cambio, la potencia de “b” en el último término es siempre \({{b}^{n}}\), ya que el exponente de “b” va aumentando secuencialmente en 1 unidad, partiendo de 0.

5. En un término cualquiera, el exponente de “a” es n−m.

6. Por su parte, el exponente de “b” en un término arbitrario, es el valor de “m” que aparece en su coeficiente binomial.

7. El coeficiente de un término cualquiera, se puede escribir como un número combinatorio, del cual la parte superior siempre es “n” y en la parte inferior es “n−1”.

8. Para cada término de la expansión, la suma de los exponentes de a y b es igual a n.

9. La suma de los coeficientes de todos los términos es igual a \({{2}^{n}}\).

10. Al sumar los coeficientes de los términos impares, se obtiene el mismo resultado que al sumar los coeficientes de los términos pares, siendo la suma igual a \({{2}^{n-1}}\).

11. Los coeficientes binomiales que equidistan de los extremos tienen igual valor.

Ejemplos resueltos paso a paso

1.- Desarrollo de un binomio

Desarrollar el siguiente binomio

\({{\left( {x+3} \right)}^{5}}\)

Primer paso

El primer paso consiste en plantear el desarrollo, siguiendo la fórmula del binomio de Newton dada más arriba:

\({{\left( {a+b} \right)}^{n}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \end{array}} \right){{a}^{n}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \end{array}} \right){{a}^{{n-1}}}\cdot b+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \end{array}} \right){{a}^{{n-2}}}\cdot {{b}^{2}}+\ldots +\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-2} \end{array}} \right){{a}^{2}}\cdot {{b}^{{n-2}}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ {n-1} \end{array}} \right)a\cdot {{b}^{{n-1}}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ n \end{array}} \right){{b}^{n}}\)

Estos son valores a sustituir en la fórmula:

• a = x
• b = 3
• n = 5

Por lo tanto, el binomio queda así:

\({{\left( {x+3} \right)}^{5}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \end{array}} \right){{x}^{5}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{{5-1}}}\cdot 3+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{{5-2}}}\cdot {{3}^{2}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 3 \end{array}} \right){{x}^{{5-3}}}\cdot {{3}^{3}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right){{x}^{{5-4}}}\cdot {{3}^{4}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 5 \end{array}} \right){{3}^{5}}\)

Nótese que la potencia de “x” comienza en 5, y va disminuyendo progresivamente en una unidad, finalizando en \({{x}^{0}}=1\) (propiedad 3), mientras que la potencia del 3 empieza en 0 (\({{3}^{0}}=1\), y aumenta en una unidad, hasta que en el último término llega a \({{3}^{5}}\) (propiedad 4).

El desarrollo contiene 6 términos, ya que n = 5, según la propiedad 1, por lo tanto, la expansión se reescribe de esta forma:

\({{\left( {x+3} \right)}^{5}}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \end{array}} \right){{x}^{5}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 1 \end{array}} \right){{x}^{4}}\cdot 3+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right){{x}^{3}}\cdot {{3}^{2}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 3 \end{array}} \right){{x}^{2}}\cdot {{3}^{3}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right)x\cdot {{3}^{4}}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 5 \end{array}} \right){{3}^{5}}\)

Segundo paso

Aparte, hay que calcular los coeficientes binomiales, según la explicación de la sección anterior. Se sigue la fórmula:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ m \end{array}} \right)=\frac{{n!}}{{m!\cdot \left( {n-m} \right)!}}\)

Los coeficientes buscados son:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \end{array}} \right)=\frac{{5!}}{{0!\cdot \left( {5-0} \right)!}}=\frac{{5!}}{{1\cdot 5!}}=1\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 1 \end{array}} \right)=\frac{{5!}}{{1!\cdot \left( {5-1} \right)!}}=\frac{{5!}}{{1\cdot 4!}}=\frac{{5\cdot 4!}}{{4!}}=5\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \end{array}} \right)=\frac{{5!}}{{2!\cdot \left( {5-2} \right)!}}=\frac{{5!}}{{2\cdot 3!}}=\frac{{5\cdot 4\cdot 3!}}{{2\cdot 3!}}=\frac{{5\cdot 4}}{2}=10\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 3 \end{array}} \right)=\frac{{5!}}{{3!\cdot \left( {5-3} \right)!}}=\frac{{5!}}{{3!\cdot 2!}}=\frac{{5\cdot 4\cdot 3!}}{{3!\cdot 2}}=\frac{{5\cdot 4}}{2}=10\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 4 \end{array}} \right)=\frac{{5!}}{{4!\cdot \left( {5-4} \right)!}}=\frac{{5!}}{{4!\cdot 1!}}=\frac{{5\cdot 4!}}{{4!\cdot 1}}=5\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 5 \end{array}} \right)=\frac{{5!}}{{5!\cdot \left( {5-5} \right)!}}=\frac{{5!}}{{5!\cdot 0!}}=1\)

Nótese que el primer y último coeficientes son iguales, el segundo es igual al cuarto, y los dos coeficientes centrales también son idénticos, por la propiedad 11.

Tercer paso

Finalmente se sustituyen los coeficientes binomiales y se desarrollan las potencias:

\({{\left( x+3 \right)}^{5}}=1\cdot {{x}^{5}}+5\cdot {{x}^{4}}\cdot 3+10\cdot {{x}^{3}}\cdot {{3}^{2}}+10\cdot {{x}^{2}}\cdot {{3}^{3}}+5\cdot x\cdot {{3}^{4}}+{{1.3}^{5}}\)

bteniendo la expansión polinómica siguiente:

\({{\left( x+3 \right)}^{5}}={{x}^{5}}+15{{x}^{4}}+90{{x}^{3}}+270{{x}^{2}}+405x+243\)

2.- Hallar un término determinado del desarrollo

En el siguiente binomio:

\({{\left( 4x-y \right)}^{7}}\)

Se quiere encontrar cuántos términos tiene la expansión y hallar el quinto término, sin tener que hacer la expansión completa.

Respuestas

Esta expansión tiene un total de 7 + 1 = 8 términos, según la propiedad 1.

De la propiedad 7 se deduce que el coeficiente del quinto término tiene como parte superior al 7, y como parte inferior al 4. De todas formas, aquí está la lista completa de coeficientes de esta expansión, en la que se aprecia la secuencia seguida:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 0 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 1 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 2 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 4 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 5 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 6 \end{array}} \right)\); \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 7 \end{array}} \right)\)

De izquierda a derecha, el coeficiente del quinto término es \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 4 \end{array}} \right)\) .

En cuanto a las potencias, nótese que a = 4x y b = − y. De la propiedad 5, el exponente de “a” es:

n − m = 7 – 4 = 3.

Y de la propiedad 6, el exponente de b = − y es igual a m = 4.

Reuniendo toda esta información, el quinto término de la expansión es:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 4 \end{array}} \right){{\left( {4x} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {-y} \right)}^{4}}=\left( {\frac{{7!}}{{4!\cdot 3!}}} \right)\cdot 64{{x}^{3}}\cdot {{y}^{4}}=\left( {\frac{{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}}{{4!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}} \right)\cdot 64{{x}^{3}}{{y}^{4}}=35\cdot 64{{x}^{3}}{{y}^{4}}=2240{{x}^{3}}{{y}^{4}}\)

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Autora

Escrito por F. Zapata para la Edición #102 de Definición MX , en 08/2021. Lic. en Física por la UCV, con especialización en Física Experimental

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