Definición de Cocientes Notables

Los cocientes notables son divisiones exactas entre expresiones algebraicas, que se usan con frecuencia en álgebra y cálculo. Al igual que ocurre con los productos notables, la división no se lleva a cabo, sino que el resultado de los cocientes se aplica directamente cuando es necesario.

La forma general de los cocientes notables más comunes es:

\(\frac{{{{x}^{n}}\pm {{a}^{n}}}}{{x\pm a}}\)

Donde n es un entero mayor o igual a 2. Por otro lado, el símbolo ± indica las posibles combinaciones entre los signos, pero no todas conducen a un cociente notable. Para que lo sea, la división tiene que ser exacta, es decir, su residuo tiene que ser 0.

El desarrollo general de un cociente notable de este tipo es el siguiente:

\(\frac{{{{x}^{n}}\pm {{a}^{n}}}}{{x\pm a}}={{x}^{{n-1}}}\pm {{x}^{{n-2}}}\cdot a\pm {{x}^{{n-3}}}\cdot {{a}^{2}}\pm {{x}^{{n-4}}}\cdot {{a}^{3}}\pm \ldots \pm {{a}^{{n-1}}}\)

En este desarrollo:

• Hay n términos

• Siempre se comienza con \({{x}^{{n-1}}}\)

• El último término es \({{a}^{{n-1}}}\)

• Si el divisor es de la forma (x+a), los signos de cada término alternan, siendo positivo siempre el primer término. El signo del último término es (+) cuando n es impar, y (–) cuando n es par

• En el caso de que el divisor sea de la forma (x−a), los signos de todos los términos son positivos.

Enseguida se estudia cada caso posible, determinando cuando se trata de un cociente notable y cómo son los signos del desarrollo.

Ejemplo: Caso 1

\(\frac{{{{x}^{n}}+{{a}^{n}}}}{{x+a}}\)

Para que este sea un cociente notable, se verifica que el residuo de la división sea 0, a través del teorema del residuo. Este afirma que al dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x−a, el residuo de la división es P(a).

La división planteada se puede expresar como:

\(\frac{{{{x}^{n}}+{{a}^{n}}}}{{x-\left( {-a} \right)}}\)

Con \(P\left( x \right)={{x}^{n}}+{{a}^{n}}\)

Para que la división sea exacta se tiene que cumplir que:

\(P\left( {-a} \right)={{\left( {-a} \right)}^{n}}+{{a}^{n}}=0\)

• Si n es par:

\(P\left( {-a} \right)=2{{a}^{n}}\)

• Cuando n es impar:

\(P\left( {-a} \right)={{\left( {-a} \right)}^{n}}+{{a}^{n}}=-{{a}^{n}}+{{a}^{n}}=0\)

Por lo tanto, el cociente es notable si n es impar. En tal caso, los signos del desarrollo se alternan, el primer término es positivo, el segundo es negativo, el tercero es positivo y así sucesivamente. El último término es positivo, por ser impar el número de términos:

\(\frac{{{{x}^{n}}+{{a}^{n}}}}{{x+a}}={{x}^{{n-1}}}-{{x}^{{n-2}}}\cdot a+{{x}^{{n-3}}}\cdot {{a}^{2}}-{{x}^{{n-4}}}\cdot {{a}^{3}}+\ldots +{{a}^{{n-1}}}\)

Ejemplo: Caso 2

\(\frac{{{{x}^{n}}+{{a}^{n}}}}{{x-a}}\)

Nuevamente:

\(P\left( x \right)={{x}^{n}}+{{a}^{n}}\)

De acuerdo al teorema del residuo, P(a) tiene que ser 0, pero:

\(P\left( a \right)={{a}^{n}}+{{a}^{n}}=2{{a}^{n}}\ne 0\)

Como el residuo nunca se hace 0, este no es un cociente notable.

Ejemplo: Caso 3

\(\frac{{{{x}^{n}}-{{a}^{n}}}}{{x+a}}\)

Este cociente se escribe como:

\(\frac{{{{x}^{n}}-{{a}^{n}}}}{{x-\left( {-a} \right)}}\)

Con:

\(P\left( x \right)={{x}^{n}}-{{a}^{n}}\)

Por lo tanto:

\(P\left( {-a} \right)={{\left( {-a} \right)}^{n}}-{{a}^{n}}=0\)

• Cuando n es par: \({{\left( {-a} \right)}^{n}}={{a}^{n}}\), por lo tanto, P(−a) = 0

• Si n es impar: \({{\left( {-a} \right)}^{n}}=-{{a}^{n}}\), entonces \(P\left( {-a} \right)=-{{a}^{n}}-{{a}^{n}}=-2{{a}^{n}}\ne 0\)

El cociente es notable solamente si n es par, y en ese caso, los términos alternan de signo, con el último término negativo, por ser par el número de términos:

\(\frac{{{{x}^{n}}-{{a}^{n}}}}{{x+a}}={{x}^{{n-1}}}-{{x}^{{n-2}}}\cdot a+{{x}^{{n-3}}}\cdot {{a}^{2}}-{{x}^{{n-4}}}\cdot {{a}^{3}}+\ldots -{{a}^{{n-1}}}\)

Ejemplo: Caso 4

\(\frac{{{{x}^{n}}-{{a}^{n}}}}{{x-a}}\)

El numerador es:

\(P\left( x \right)={{x}^{n}}-{{a}^{n}}\)

Por lo tanto, el teorema del residuo afirma que esta división siempre es exacta, ya que \(P\left( a \right)={{a}^{n}}-{{a}^{n}}=0\), tanto para n par como para n impar.

Los signos de los términos del desarrollo son positivos:

\(\frac{{{{x}^{n}}-{{a}^{n}}}}{{x-a}}={{x}^{{n-1}}}+{{x}^{{n-2}}}\cdot a+{{x}^{{n-3}}}\cdot {{a}^{2}}+{{x}^{{n-4}}}\cdot {{a}^{3}}+\ldots +{{a}^{{n-1}}}\)

Término k-ésimo

La forma general de un término cualquiera, en el desarrollo de un cociente notable es:

\({{T}_{k}}={{\left( {-1} \right)}^{{k-1}}}\cdot {{x}^{{n-k}}}\cdot {{a}^{{k-1}}}\)

Donde el índice k señala el término deseado.

Exponentes del divisor mayores que 1

Si los exponentes del divisor son 2, 3, 4…, el exponente de x disminuye en 2, 3, 4… unidades. Por su parte, la primera potencia de a es la misma que tiene en el divisor, y va aumentando en 2, 3, 4… unidades. Paridades y signos se mantienen como se ha descrito previamente (ver ejercicio resuelto 1e).

Ejercicios 1

a) \(\frac{{{{x}^{3}}+8}}{{x+2}}\)

Respuesta

Se trata de un cociente notable, puesto que los exponentes son impares (n=3) y corresponde al caso 1:

\(\frac{{{{x}^{3}}+8}}{{x+2}}=\frac{{{{x}^{3}}+{{2}^{3}}}}{{x+2}}={{x}^{{3-1}}}-{{x}^{{3-2}}}\cdot 2+{{x}^{{3-3}}}{{\cdot 2}^{2}}={{x}^{2}}-2x+{{2}^{2}}={{x}^{2}}-2x+4\).

b) \(\frac{{{{x}^{4}}-81}}{{x+3}}\)

Respuesta

Este es un ejemplo del cociente mostrado en el caso 3, ya que n = 4 (par) y los signos del desarrollo son alternados, con el último término negativo:

\(\frac{{{{x}^{4}}-81}}{{x+3}}=\frac{{{{x}^{4}}-{{3}^{4}}}}{{x+3}}={{x}^{{4-1}}}-{{x}^{{4-2}}}\cdot 3+{{x}^{{4-3}}}{{\cdot 3}^{2}}-{{x}^{{4-4}}}{{\cdot 3}^{3}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27\)

c) \(\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}\)

Respuesta

Corresponde al caso 4, por lo tanto, todos los signos del desarrollo son positivos:

\(\frac{{{{x}^{3}}-1}}{{x-1}}=\frac{{{{x}^{3}}-{{1}^{3}}}}{{x-1}}={{x}^{{3-1}}}+{{x}^{{3-2}}}\cdot 1+{{x}^{{3-3}}}{{\cdot 1}^{2}}={{x}^{2}}+x+1\)

d) \(\frac{{{{m}^{5}}-{{n}^{5}}}}{{m-n}}\)

Respuesta

También es un ejemplo del caso 4:

\(\frac{{{{m}^{5}}-{{n}^{5}}}}{{m-n}}=~{{m}^{4}}+{{m}^{3}}n+{{m}^{2}}{{n}^{2}}+m{{n}^{3}}+{{n}^{4}}\)

e) \(\frac{{{{x}^{6}}+1}}{{{{x}^{2}}+1}}\)

Respuesta

Haciendo \({{x}^{2}}=z\), el cociente se convierte en:

\(\frac{{{{x}^{6}}+1}}{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{{{\left( {{{x}^{2}}} \right)}}^{3}}+{{1}^{3}}}}{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{{z}^{3}}+{{1}^{3}}}}{{z+1}}={{z}^{2}}-z+1=~{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1\)

f) \(\frac{{64{{z}^{6}}-343{{y}^{9}}}}{{4{{z}^{2}}-7{{y}^{3}}}}\)

Respuesta

Se puede reescribir el cociente como:

\(\frac{{64{{z}^{6}}-343{{y}^{9}}}}{{4{{z}^{2}}-7{{y}^{3}}}}=\frac{{{{{\left( {4{{z}^{2}}} \right)}}^{3}}-{{{\left( {7{{y}^{3}}} \right)}}^{3}}}}{{4{{z}^{2}}-7{{y}^{3}}}}\)

Este cociente es del caso 4, con n= 3 y, además:

• \(x=4{{z}^{2}}\)

• \(a=7{{y}^{3}}\)

Quedando de la forma:

\(\frac{{{{x}^{3}}-{{a}^{3}}}}{{x-a}}={{x}^{{3-1}}}+{{x}^{{3-2}}}\cdot a+{{x}^{{3-3}}}\cdot {{a}^{2}}={{x}^{2}}+ax+{{a}^{2}}\)

Sustituyendo y desarrollando, se obtiene:

\(\frac{{{{{\left( {4{{z}^{2}}} \right)}}^{3}}-{{{\left( {7{{y}^{3}}} \right)}}^{3}}}}{{4{{z}^{2}}-7{{y}^{3}}}}={{\left( {4{{z}^{2}}} \right)}^{2}}+4{{z}^{2}}\cdot 7{{y}^{3}}+{{\left( {7{{y}^{3}}} \right)}^{2}}=16{{z}^{4}}+28{{z}^{2}}{{y}^{3}}+49{{y}^{6}}\)

Ejercicios 2.- Hallar el tercer término del cociente:

\(\frac{{81{{y}^{4}}-256}}{{3y+4}}\)

Respuesta

Se reescribe el cociente de la siguiente manera:

\(\frac{{81{{y}^{4}}-256}}{{3y+4}}=\frac{{{{{\left( {3y} \right)}}^{4}}-{{4}^{4}}}}{{3y+4}}\)

El término k-ésimo es:

\({{T}_{k}}=\pm ~{{x}^{{n-k}}}\cdot {{a}^{{k-1}}}={{\left( {-1} \right)}^{{k-1}}}\cdot {{x}^{{n-k}}}\cdot {{a}^{{k-1}}}\)

Con:

• x = 3y

• a = 4

• n = 4

• k = 3

Dado que k = 3 y el cociente corresponde al caso 3, los signos son alternados, y el del término buscado es positivo, luego:

\({{T}_{3}}={{\left( {-1} \right)}^{{3-1}}}\cdot {{\left( {3y} \right)}^{{4-3}}}{{\cdot 4}^{{3-1}}}={{\left( {-1} \right)}^{2}}\cdot 3y{{\cdot 4}^{2}}=48y\)

Referencia Bibliografía

Baldor, A. 1974. Álgebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.

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Autora

Escrito por F. Zapata para la Edición #103 de Definición MX , en 08/2021. Lic. en Física por la UCV, con especialización en Física Experimental

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