La ley de enfriamiento de Newton asegura que la tasa de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo resulta directamente proporcional a la diferencia entre la temperatura medida en el entorno y en el cuerpo.
Tal como dicta la experiencia cotidiana, un objeto a cierta temperatura mayor o menor que la del medio ambiente, tiende con el tiempo a establecer un equilibrio térmico con este último. Por ejemplo, una taza de café caliente que se queda un buen rato sobre la mesa, finalmente se enfría hasta que su temperatura es la misma que la de la habitación.
Este fenómeno se modela matemáticamente a través de la ley de enfriamiento de Newton, recordando que una tasa de cambio se puede representar como una derivada primera. En tal caso, la ley queda expresada así:
\(\frac{{dT}}{{dt}}=k\left( {{{T}_{o}}-T} \right)\)
Donde To es la temperatura del medio ambiente y k es la constante de proporcionalidad positiva.
Dado que la incógnita es T y es el argumento de una derivada, se trata de una ecuación diferencial. Esto significa que se debe buscar una función T(t) tal que, al ser derivada una vez, resulte en la expresión \(k\cdot (To – T)\).
Solución de ecuaciones
Una forma de resolver la ecuación diferencial que representa la ley de enfriamiento de Newton es mediante el método de separación de variables. Consiste en manipular algebraicamente la ecuación, para dejar a un lado de la igualdad todo lo que contenga una de las variables, y al otro lado de la igualdad, quedaría la otra variable:
\(\frac{{dT}}{{{{T}_{o}}-T}}=kdt\)
Una vez que las variables quedan separadas, se integra a ambos lados de la igualdad:
\(\int \frac{{dT}}{{{{T}_{o}}-T}}=\int kdt\)
La integral de la izquierda se resuelve mediante un simple cambio de variables:
\(u={{T}_{o}}-T\)
Por lo tanto:
\(du=-dT\)
Que conduce a:
\(-\int \frac{{du}}{u}=-\ln u+{{C}_{1}}=-\ln \left( {{{T}_{o}}-T} \right)+{{C}_{1}}\)
La integral del lado derecho de la igualdad es directa:
\(\int kdt=kt+{{C}_{2}}\)
Seguidamente hay que igualar ambos resultados, obteniéndose:
\(-\ln \left( {{{T}_{o}}-T} \right)+{{C}_{1}}=kt+{{C}_{2}}~\)
\(\ln \left( {{{T}_{o}}-T} \right)=-kt+C~\)
Las constantes de integración se han reunido en una sola, llamada C. Ahora bien, para despejar T en función de t, es necesario eliminar el logaritmo neperiano, lo cual se lleva a cabo aplicando la exponencial a ambos lados:
\({{e}^{{\ln \left( {{{T}_{o}}-T} \right)}}}={{e}^{{-kt+C}}}={{e}^{{-kt}}}\cdot {{e}^{C}}~\)
A la izquierda se cancelan la exponencial y el logaritmo, dejando solo al argumento. A la derecha, el valor de \){{e}^{C}}\) es una constante, a la que se puede llamar B, quedando:
\({{T}_{o}}-T=B{{e}^{{-kt}}}\)
Despejando T:
\(T={{T}_{o}}-B{{e}^{{-kt}}}\)
To y B tienen unidades de temperatura, como kelvin, grados celsius u otra apropiada. En cambio, el argumento de la exponencial debe ser adimensional, por lo que k tiene unidades de inverso de tiempo.
El problema debe brindar información suficiente para determinar sus valores, como la temperatura del objeto en dos instantes diferentes, o la temperatura del objeto en un determinado instante y su temperatura inicial. Los ejemplos aclaran la forma de usar la ecuación resultante, según la información suministrada en el enunciado y la incógnita que se desea encontrar.
Ejemplos de aplicación
1.- Se requiere enfriar una crema que está a 25 ºC, colocándola en un recinto a 0 ºC. Luego de transcurridos 20 minutos, la temperatura de la crema es 15 ºC. ¿A qué temperatura se encontrará luego de 45 minutos?
Respuesta
Se utiliza la expresión:
\(T={{T}_{o}}-B{{e}^{{-kt}}}\)
No se conocen los valores de B y k para este problema. Sin embargo, el enunciado dice que la temperatura ambiente To es de 0º C, que T (0) = 25 ºC y T (20) = 15 ºC:
\(T\left( {20} \right)=0+25{{e}^{{-k\cdot 20}}}=15\)
De aquí resulta:
\(25{{e}^{{-20k}}}=15\)
\({{e}^{{-20k}}}=\frac{{15}}{{25}}=0.6\)
Tomando logaritmo neperiano a ambos lados:
\(\ln \left( {{{e}^{{-20k}}}} \right)=\ln 0.6\)
Con toda esta información, ya se puede construir la función T(t) para este problema:
\(T=25{{e}^{{-0.02554t}}}\)
Resta sustituir el valor t = 45 minutos y calcular la temperatura de la crema en ese instante:
\(T\left( {45} \right)=25{{e}^{{-0.02554\times 45}}}=7.92~{}^\text{o}C\)
2.- Un motor se apaga cuando su temperatura es de 200 º C. Después se observa que la temperatura desciende a 180 º C al cabo de 10 minutos. Si la temperatura ambiente es de 25 ºC, determinar el tiempo que tarda para que la temperatura del motor baje hasta 30 ºC.
Respuesta
Del enunciado se conocen los siguientes datos:
• La temperatura ambiente To = 25 ºC
• El valor inicial de la temperatura del motor es T (0) = 200 ºC
• La temperatura al cabo de t = 10 minutos es T (10) = 180 ºC
Se sustituyen en:
\(T\left( t \right)={{T}_{o}}-B{{e}^{{-kt}}}\)
Para obtener lo siguiente:
\(T\left( 0 \right)=25-B{{e}^{{-k\cdot 0}}}=25-B=200\)
De esta ecuación se desprende fácilmente que B = 25 – 200 = –175
\(T\left( {10} \right)=25-\left( {-175} \right){{e}^{{-k\cdot 10}}}=25+175{{e}^{{-10k}}}=180\)
Por lo tanto:
\(175{{e}^{{-10k}}}=180-25=155\)
\({{e}^{{-10k}}}=\frac{{155}}{{175}}\)
\(-10k=\ln \frac{{155}}{{175}}\)
k = 0.012136
Conocidos ya los valores de B y k:
• B = –175
• k = 0.012136
• To = 25
Se sustituyen en la función T(t), para tener su versión definitiva:
\(T\left( t \right)={{T}_{o}}-B{{e}^{{-kt}}}\)
\(T\left( t \right)=25+175{{e}^{{-0.012136t}}}\)
Ahora se puede conocer el valor solicitado, que es el tiempo que tarda el motor en adquirir una temperatura de 30 ºC:
\(25+175{{e}^{{-0.012136t}}}=30\)
\({{e}^{{-0.012136t}}}=\frac{{30-25}}{{175}}=\frac{5}{{175}}=0.02857\)
Se toma logaritmo neperiano a ambos lados:
\(\ln {{e}^{{-0.012136t}}}=\ln 0.02857\)
\(t=\frac{{\ln 0.02857}}{{-0.012136}}=293~minutos=4.9~horas=4~horas~54~minutos~\)