Definición de Número Cero

El número cero, cuyo símbolo es 0, se clasifica como entero, aunque algunos autores lo incluyen en el conjunto de los números naturales. En carácter de entero, también forma parte de los números reales (abarca los naturales, enteros, racionales e irracionales).

El 0, por sí mismo, se usa para representar la ausencia de alguna cantidad, el vacío o la nada, sin embargo, colocado a la derecha de otros números, aumenta el valor diez, cien, mil… veces, tanto como ceros a la derecha contenga la cifra.

Sobre la recta numérica, el 0 constituye la frontera entre los números positivos y los negativos:

Y en el plano cartesiano, el 0 representa el origen del sistema de coordenadas xy.

Muchas civilizaciones alrededor del mundo, desarrollaron de manera independiente el concepto del 0 para indicar el conjunto vacío y también como valor posicional. Otras en cambio, no lo conocieron.

En todo caso, el 0 es un número muy especial, y por eso se le da un tratamiento especial, como se verá enseguida.

Valor posicional del 0

La combinación apropiada de los diez dígitos que conforman el sistema de numeración indo arábiga, permite escribir cualquier cifra que se desee, sin importar que tan grande sea. El 0 no agrega valor a un número, pero si se ubica a su derecha, cambia el valor que este representa. Entonces, el 0 tiene un valor posicional.

Por ejemplo, 1 indica un solo objeto, pero agregando un 0 a su derecha se transforma en 10, es decir, su vuelve diez veces mayor, agregando dos ceros más es 100 veces mayor y así sucesivamente.

En cambio, el 0 a la izquierda del dígito no altera su valor, por lo tanto 01 sigue siendo 1, y generalmente no hace falta escribirlo, salvo que se quiera marcar o guardar especialmente el lugar a la izquierda, para una mayor comodidad a la hora de efectuar una operación.

El cero a la izquierda toma importancia si al mismo va acompañado de una coma. Por ejemplo 0,1 significa la décima parte de la unidad. Otro ejemplo es 0,25 que equivale a 25/100 que a su vez equivale a ¼.

Ejemplos prácticos del cero en las operaciones matemáticas

Suma y resta del 0

Sumar un 0 a alguna cantidad, no altera su valor, por ello es el elemento neutro de la suma.

En efecto, si “a” es un número real cualquiera:

a + 0 = a

Lo mismo puede afirmarse para la resta del 0:

a − 0 = a

Si en vez de números se trabaja con cantidades de otro tipo, como vectores, por ejemplo, se define el vector nulo cuya magnitud es 0. El vector nulo también es el elemento neutro de la suma vectorial.

Sea \(\vec{v}\) un vector cualquiera, entonces:

\(\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}\)

Se obtiene el 0 al sumar un número y su opuesto:

a + (−a) = 0

Y de igual manera, sumando un vector con su opuesto se obtiene el vector nulo:

\(\vec{v}+\left( {-\vec{v}} \right)=\vec{0}\)

Multiplicación del 0

Cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0, sin importar lo grande o pequeño que sea:

a × 0 = 0

Potencia del 0

Para todo número “a” se cumple que:

a0 = 1

Por ejemplo:

1000000 = 1

Por otro lado, 0n = 0 × 0 × 0 … n veces, y el resultado es 0. Sin embargo, 00 no está definido.

División del 0

Dividir 0 entre cualquier número “a” distinto de 0 no es un problema, el resultado también es 0:

\(\frac{0}{a}=0\)

Tiene sentido, pues si se quiere repartir 0 \) entre un número “a” de personas, a cada una le toca 0 \).

En cambio, dividir una cantidad cualquiera entre 0 es una operación que no está definida. De allí que el 0 no tenga recíproco, es decir, no existe un número tal que multiplicado por 0 sea igual 1.

Se sigue entonces que ninguna cantidad es divisible entre 0 y al trabajar con fracciones y expresiones algebraicas fraccionarias, hay que evitar a toda costa los denominadores nulos, apartando aquellos valores que hagan anularse al denominador.

Una fracción cualquiera tiene la forma:

\(\frac{a}{b}\)

Y siempre se hace hincapié en que b ≠ 0. En una expresión algebraica fraccionaria, como por ejemplo:

\(\frac{{2x-1}}{{x-3}}\)

Se puede sustituir casi cualquier valor de x y obtener siempre un número real como resultado, excepto x = 3, ya que este es el valor que anula el denominador.

En cambio, la expresión se puede evaluar tranquilamente con x = ½, pues este valor anula únicamente al numerador, más no al denominador.

¿Logaritmo del 0?

El logaritmo de 0 no existe, así como tampoco hay logaritmos de números negativos. Sin embargo, el logaritmo de 1 en cualquier base es 0:

\(lo{{g}_{b}}1=0\)

Por ejemplo, en esta expresión que involucra un logaritmo neperiano:

\(\ln \left( {x-1} \right)\)

Se puede sustituir cualquier valor estrictamente mayor que 1.

El valor x = 1 está excluido, porque hace 0 la expresión entre paréntesis, que es el argumento del logaritmo neperiano. Por otro lado, los números menores que 1 harían que dicho argumento fuese negativo, lo que tampoco está permitido.

Radicación del 0

La raíz n-ésima de 0 es 0:

\(\sqrt[n]{0}=0\)

Desde luego, n≠0.

Factorial del 0

El factorial de un número n positivo, denotado como n!, se define como el siguiente producto:

\(n!=n~\cdot \left( {n-1} \right)\cdot \left( {n-2} \right)\cdot \left( {n-3} \right)\ldots .1\)

Esta operación se utiliza en diferentes áreas de la ciencia, por ejemplo, en probabilidad y estadística. El valor de 0! se define como 1:

0! = 1.

Paridad y números primos

El 0 es un entero par, por encontrarse entre los enteros −1 y 1, impares ambos. Pero no forma parte de los números primos, aquellos cuyos únicos divisores son 1 y el número mismo.

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Autora

Escrito por F. Zapata para la Edición #103 de Definición MX , en 08/2021. Lic. en Física por la UCV, con especialización en Física Experimental

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