Definición de Potenciación

La potenciación se aplica sobre un número a (reconocido como base) para que éste se multiple asímismo de acuerdo a las veces que sentencia n (en el rol de exponente), expresándose típicamente como \({{a}^{n}}=a \cdot a \cdot a\ldots ~a\) .

Ejemplos comunes

Comprende una manera abreviada de escribir una multiplicación, en el caso muy particular de que todos los factores o multiplicandos sean siempre los mismos, tal como lo refleja la ecuación: \({{2}^{3}}=2 \cdot 2 \cdot 2=8\). Esta operación se lee de la siguiente forma: “2 elevado a la 3 es igual a 8”, donde la base es igual a 2, el exponente es igual a 3 y el resultado es 8.

A continuación, en otro ejemplo, la base es 3, el exponente es 4 y el resultado de multiplicar 3 asímismo cuatro veces es 81: \({{3}^{4}}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81\)

Por otra parte, tanto la base como el exponente pueden ser cualquier número real o una expresión algebraica, como en estas potencias:

\({{x}^{2}}= \cdot Xx\)

\({{a}^{3}}=a \cdot a \cdot a\)

\({{y}^{x}}\)

Estas expresiones se leen así: la primera es “x al cuadrado”, la segunda “a al cubo” y la tercera “y a la x”.

Reglas de los signos en la potenciación

Cuando la base es negativa, es necesario colocar un paréntesis.

\({{\left( -6 \right)}^{2}}=\left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right)=36\)

De no hacerlo, el resultado sería este otro, puesto que −6 ≠ 6:

\(-{{6}^{2}}=-6 \cdot 6=-36\)

Signo de la base y paridad del exponente

Dada una base positiva, el signo del resultado de la potencia es positivo, sin importar la paridad del exponente.

En cambio, si la base es negativa, el signo de resultado depende de si el exponente es par o impar. Por ejemplo:

\({{\left( -6 \right)}^{3}}=\left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right)=-216\)

Y anteriormente se vio que:

\({{\left( -6 \right)}^{2}}=\left( -6 \right) \cdot \left( -6 \right)=36\)

Entonces, se establecen las siguientes reglas para una base negativa:

• Si el exponente es par, el resultado es positiva.

• Cuando el exponente es impar, la operación resulta negativa.

Propiedades de los exponentes

Además de las reglas de los signos, existe todo un conjunto de definiciones y teoremas que se deben seguir al trabajar con potencias, los cuales se muestran seguidamente:

1) Multiplicación de potencias de igual base

El resultado de multiplicar dos o mas potencias de igual base es igual a dicha base elevada a la suma de los exponentes:

an \cdot am = an+m

Ejemplos

\({{4}^{2}} \cdot {{4}^{1}}={{4}^{2+1}}={{4}^{3}}\)

\({{x}^{3}} \cdot {{x}^{5}}={{x}^{3+5}}={{x}^{8}}\)

\({{y}^{x}} \cdot {{y}^{2x}} \cdot {{y}^{4}}={{y}^{x+2x+4}}={{y}^{3x+4}}\)

2) División de potencias de igual base

Cuando se dividen dos potencias de igual base, el resultado es la base, elevada a la diferencia entre el exponente que aparece en el numerador y el que está en el denominador:

\(\frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}\) , con a ≠ 0

Ejemplos

\(\frac{{{5}^{5}}}{{{5}^{3}}}={{5}^{5-3}}={{5}^{2}}\)

\(\frac{8{{x}^{6}}}{2{{x}^{2}}}=4{{x}^{6-2}}=4{{x}^{4}}\)

3) Potencia de una potencia

Al realizar la potencia de una potencia, resulta la base elevada al producto de los exponentes:

\({{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m \cdot n}}\)
\({{4}^{2}} \cdot {{4}^{1}}={{4}^{2+1}}={{4}^{3}}\)Ejemplos

\({{\left( {{3}^{3}} \right)}^{2}}={{3}^{3 \cdot 2}}={{3}^{6}}\)

\({{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}={{x}^{2 \cdot 2}}={{x}^{4}}\)

4) Exponente igual a 0

Todo número elevado al exponente 0 es igual a 1, por lo tanto:

\({{a}^{0}}=1\), con a ≠ 0

Ejemplos

\({{\left( -2 \right)}^{0}}=1\)

\({{x}^{0}}=1\)

\({{\left( 2y \right)}^{0}}=1\)

\(5 \cdot {{z}^{0}}=5\)

\({{\left( \frac{1}{7} \right)}^{0}}=1\)

Hay que destacar que la operación:

\({{0}^{0}}\)

No está definida en el conjunto de los números reales, por lo tanto, constituye una indeterminación, de allí se impone que “a” sea siempre diferente de 0.

5) Exponente negativo

Si el exponente es negativo se observa lo siguiente:

\({{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\) , con a ≠ 0

Esto significa que la potencia se convierte en una fracción de numerador igual a 1 y cuyo denominador es la misma potencia, pero con el exponente positivo. Como la división por cero no está definida, se establece la condición de que a ≠ 0.

Ejemplos

\({{2}^{-2}}=\frac{1}{{{2}^{2}}}=\frac{1}{4}\)

\({{x}^{-2}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\)

La base puede ser un número fraccionario, por ejemplo:

\({{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-3}}=\frac{1}{{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{3}}}=\frac{1}{\left( \frac{8}{125} \right)}=\frac{125}{8}\)

También se pueden hacer operaciones como sumas, que involucran números o letras con exponente negativo, si antes se expresan como fracción, como se muestra aquí:

\({{2}^{-3}}+{{3}^{-1}}=\frac{1}{{{2}^{3}}}+\frac{1}{{{3}^{1}}}=\frac{1}{8}+\frac{1}{3}=\frac{11}{24}\)

6) Exponente fraccionario

Cuando el exponente es fraccionario, el número o la expresión se pueden escribir en forma de raíz enésima:

\({{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\), con n≠0

Obsérvese que el denominador del exponente corresponde al índice de la raíz, mientras que el numerador es la potencia de la base, que pasa a ser la cantidad subradical.

Ejemplos

\({{8}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{{{8}^{2}}}\)

\({{x}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{x}\)

7) Potencia de un producto

Sean dos cantidades “x” y “y”, para realizar la potencia de su producto se eleva cada cantidad al exponente n:

\({{\left( \cdot Xy \right)}^{n}}={{x}^{n}} \cdot {{y}^{n}}\)

Ejemplos

\({{\left( 4 \cdot x \right)}^{3}}={{4}^{3}} \cdot {{x}^{3}}=64{{x}^{3}}\)

\({{\left( 5 \cdot x \right)}^{-2}}={{5}^{-2}} \cdot {{x}^{-2}}=\frac{1}{{{5}^{2}}} \cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{25{{x}^{2}}}\)

Se procede análogamente cuando se quiere hallar la potencia del producto entre más dos cantidades.

8) Potencia de un cociente

De forma semejante, para efectuar la potencia de un cociente, se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente indicado:

\({{\left( \frac{x}{y} \right)}^{n}}=\frac{{{x}^{n}}}{{{y}^{n}}}\)

Con y ≠ 0 si n es positivo, y si es negativo tanto “x” como “y” deben ser diferentes de 0, ya que la división por 0 no está definida.

Ejemplos

\({{\left( \frac{3x}{5} \right)}^{3}}=\frac{{{\left( 3x \right)}^{3}}}{{{5}^{3}}}=\frac{27{{x}^{3}}}{125}\)

\({{\left( \frac{4\sqrt{5}ab}{2c} \right)}^{2}}=\frac{{{4}^{2}} \cdot {{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{\left( 2c \right)}^{2}}}=\frac{16 \cdot 5 \cdot {{a}^{2}}{{b}^{2}}}{4{{c}^{2}}}=\frac{80 \cdot {{a}^{2}}{{b}^{2}}}{4{{c}^{2}}}=\frac{20 \cdot {{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}\)

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Autora

Escrito por F. Zapata para la Edición #103 de Definición MX , en 08/2021. Lic. en Física por la UCV, con especialización en Física Experimental

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