Definición de Progresión Geométrica y ejemplos/ejercicios

Marco Antonio Rodríguez Andrade
Doctor en Matemática

Una secuencia de números \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); es llamada una progresión geométrica si a partir del segundo, cada elemento se obtiene del anterior multiplicando por un número \(r\ne 0\), es decir si:

\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)

El número \(r\) es llamado la razón de la progresión geométrica.

El elemento \({{a}_{1}}\) es llamado el primer elemento de la progresión aritmética.

Los elementos de la progresión geométrica se pueden expresar en términos del primer elemento y de su razón, es decir:

\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1}}{{r}^{3}}\)

Son los primeros cuatro elementos de la progresión aritmética; en general, el \(k-\)ésimo elemento queda expresado de la siguiente manera:

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Cuando \({{a}_{1}}\ne 0,~\)de la expresión anterior se obtiene:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}}}{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

La expresión anterior es equivalente a:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Ejemplo/ejercicio 1. Hallar la diferencia de la progresión aritmética: \(2,6,18,54,\ldots \) y encontrar los elementos \({{a}_{20}},~{{a}_{91}}\)

Solución

Como \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) podemos concluir que la razón es:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Ejemplo/ejercicio 2. En una progresión aritmética se tiene: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), determinar la razón de la progresión geométrica y escribir los primeros 5 elementos.

Solución

Usando

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{a}_{20}}}{{{a}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Para encontrar los primeros 5 elementos de la progresión aritmética; calcularemos \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Los primeros 5 elementos de la progresión geométrica son:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Ejemplo/ejercicio 3. Un vidrio delgado absorbe el 2% de la luz solar que pasa por él.

a. Qué porcentaje de luz pasará por 10 de esos vidrios delgados?

b. ¿Qué porcentaje de luz pasará por 20 de esos vidrios delgados?

c. Determine el porcentaje de luz que pasa por \(n\) vidrios delgados con las mismas características, colocados de manera consecutiva.

Solución

Representaremos con 1 al total de la luz; al absorber el 2% de la luz, entonces el 98% de la luz pasa por el vidrio.

Representaremos con \({{a}_{n}}\) el porcentaje de luz que pasa por el vidrio \(n\) .

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0.98 \right)}^{2}}\left( 0.98 \right),\)

En general \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

a. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); lo cual nos dice que el después del vidrio 10 pasa el 81.707% de luz

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); lo cual nos dice que el después del vidrio 20 pasa el 66.761%

La suma de los primeros \(n\) elementos de una progresión geométrica

Dada la progresión geométrica \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1}}{{r}^{3}}\)….

Cuando \(r\ne 1\) la suma de los primeros \(n\) elementos, la suma:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}}+{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Se puede calcular con

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r\ne 1\)

Ejemplo/ejercicio 4. Del ejemplo 2 calcular \({{S}_{33}}\).

Solución

En este caso \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) y \(r=-4\)

Aplicando

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}}{1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}}{5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Ejemplo/ejercicio 5. Supongamos que una persona sube una fotografía de su mascota y la comparte con 3 de sus amigos de una red social de internet, y en una hora cada uno de ellos, comparte la fotografía con otras tres personas y luego estas últimas, en una hora más, cada una de ellas comparte la fotografía con otras 3 personas; y así continúa; cada persona que recibe la fotografía, la comparte con otras 3 personas en el lapso de una hora. ¿En 15 horas, cuántas personas ya tienen la fotografía?

Solución

La siguiente tabla muestra los primeros cálculos
Hora Personas que reciben la fotografía Personas que tienen la fotografía
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

La cantidad de personas que reciben la fotografía en la hora \(n\) es igual a: \({{3}^{n}}\)

La cantidad de personas que ya tienen la fotografía en la hora es igual a:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

Aplicando

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Con \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) y \(n=15\)

Por lo cual:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

Medios geométricos

Dados dos números \(a~\)y \(b,\) los números \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}}\) son llamados \(k\) medios geométricos de los números \(a~\)y \(b\); si la secuencia \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) es una progresión geométrica.

Para saber los valores de \(k\) medios geométricos de los números \(a~\)y \(b\), basta con conocer la razón de la progresión aritmética, para ello hay que considerar, lo siguiente:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{{a}_{k+2}}=b,\)

de lo anterior establecemos la relación:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Al despejar \(d\), se obtiene:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Ejemplo/ejercicio 6. Hallar 2 medias geométricas entre los números -15 y 1875.

Solución

Al aplicar

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

con \(b=375,~a=-15\) y \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Las 3 medias geométricas son:

\(75,-375\)

Ejemplo/ejercicio 7. Una persona invirtió un dinero y recibió interés cada mes por 6 meses y su capital aumentó un 10%. Asumiendo que la tasa no varió, ¿Cuál fue la tasa de interés mensual?

Solución

Sea \(C\) el capital invertido; el capital final es \(1.1C\); para resolver el problema debemos colocar 5 medias geométricas, al aplicar la fórmula:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Con \(k=5,~b=1.1C\) y \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

La tasa mensual recibida fue de \(1.6%\)

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Autor

Escrito por Marco Antonio Rodríguez Andrade para la Edición #112 de Definición MX , en 05/2022. Marco es Profesor de la ESFM del Instituto Politécnico Nacional, es coautor de más de una decena de artículos de investigación en revistas internacionales JCR y de libros de matemáticas para la educación secundaria en México. Sus trabajos de investigación versan en Álgebras de Clifford, Cristalografía y Educación Matemática.