La regla de tres simple actúa para encontrar la relación entre dos magnitudes procediendo de modo directo o inverso en función de las propiedades de proporcionalidad. De este modo, por un lado, dos magnitudes “x” e “y” son directamente proporcionales cuando pueden escribirse de la forma: \(y=kx\), donde k es una constante llamada razón, o simplemente, constante de proporcionalidad. Otra forma de expresarlo sería decir que cuando dos cantidades son directamente proporcionales, su razón es constante: \(\frac{y}{x}=k\). Por otro lado, las magnitudes son inversamente proporcionales, si la relación entre ellas es del tipo: \(y=\frac{k}{x}\) ; o bien: \(yx=k\), lo que implica que dos cantidades expresan esta propiedad cuando el producto entre ellas es constante.
Regla de tres simple directa
Conocida la relación entre dos magnitudes directamente proporcionales, y dado el valor de una de ellas, el correspondiente valor de la otra magnitud se halla mediante una operación sencilla: la regla de tres simple y directa. Por ejemplo, si una docena de bolígrafos cuesta 8 $, 2 docenas de bolígrafos deben costar 16 $, y 3 docenas valen 24 $. A mayor número de docenas, mayor precio.
Si el precio es directamente proporcional al número de docenas, se cumple que:
\(y=kx\)
La variable “y” es el precio de los bolígrafos, “x” la cantidad de bolígrafos (en docenas) y “k”, la constante de proporcionalidad, es el precio por cada docena.
Si se quiere saber el precio de 3 ½ docena de bolígrafos, se plantea una regla de tres como sigue:
1 docena de bolígrafos → 8 $
3 ½ docenas de boligrafos → x =?
Al plantear la regla de tres directa, es importante que las magnitudes semejantes se coloquen una debajo de la otra. En este caso, las respectivas docenas se encuentran en la misma columna, a la izquierda, y como la incógnita está debajo del precio de 8 $, su valor también vendrá expresado en $.
Para calcular el precio de 3 ½ docenas se procede del siguiente modo, recordando que 3 ½ = 3.5:
\(x=\frac{3.5~docenas\times 8~\$}{1~docena}=28~\$\)
Nótese que la cantidad de docenas y su precio son directamente proporcionales, ya que, al efectuar el cociente, resulta siempre la misma cantidad o razón:
\(\frac{8~\$}{1~docena}=\frac{16~\$}{2~docenas}=\frac{24~\$}{3~docenas}=\ldots =8~\$/docena\)
La razón en este caso es el precio por docena. Sabiendo esto, se puede calcular el costo de cualquier otra cantidad de bolígrafos, por ejemplo 5 docenas cuestan:
\(5~docenas~\times 8~\$/docena=40~\$\)
Regla de tres simple inversa
Esta regla de tres se usa cuando la relación entre dos cantidades es de proporcionalidad inversa, es decir, si una de ellas aumenta (o disminuye), la otra disminuye (o aumenta) en la misma proporción.
El siguiente es un ejemplo cotidiano: “y” número de amigos se reúnen para pintar la pared de una sala, una tarea que les demora “x” cantidad de horas.
Si invitan tres amigos más, “y” aumenta y “x” disminuye. Es razonable, porque si hay más personas haciendo el trabajo, el tiempo de labor se reduce, si el ritmo es el mismo para todos.
Supóngase que 5 amigos se reúnen en la casa de uno de ellos con la intención de pintarla, y se tardan 9 horas en completar la tarea. ¿Cuánto tiempo demoraría pintar la casa si invitan a 3 amigos más para que les ayuden?
Se trata de una proporcionalidad inversa, pues al invitar a 3 personas más, se tienen en total 8 personas trabajando, por lo tanto, la casa debería estar pintada en un lapso menor.
El tiempo exacto se encuentra mediante el siguiente planteamiento:
5 amigos → 8 amigos
9 horas → x =?
Nótese que en la regla de tres inversa, las magnitudes semejantes se encuentran en la misma fila, una importante diferencia con la regla de tres directa, en la cual las magnitudes semejantes están en la misma columna. Entonces, en el caso de la regla de tres inversa, la pareja de datos conocidos ocupa la columna izquierda.
El procedimiento para calcular la incógnita es multiplicar la pareja de datos conocida (multiplicar los valores de la columna izquierda) y dividir entre el valor restante, como sigue:
\(x=\frac{5~amigos\times 9~horas}{8~amigos}=5.625~horas\)
Como en la proporcionalidad inversa es el producto de las cantidades el que se mantiene constante, se debe cumplir que:
5 × 9 = 8 × 5.625 = 45
Conociendo esto, se puede responder esta otra cuestión: ¿cuánto tardarían 12 amigos en pintar la casa? Si “x” es el tiempo, la respuesta es:
12 ∙ x = 45
Seguro que es menos tiempo aún, en efecto:
\(x=\frac{45}{12}~horas=3.75~horas\)
Ejemplos prácticos
1.- Un automóvil rinde 5 litros de gasolina cada 80 km. ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer con 30 litros?
Respuesta
A mayor cantidad de gasolina, mayor kilometraje, por lo tanto, se trata de una proporcionalidad directa. En tal caso, en la primera fila se coloca el par de datos conocido, y en la segunda, el dato conocido y la incógnita, cuidando que las magnitudes semejantes queden una debajo de la otra:
5 litros → 80 km
30 litros → x =?
\(x=\frac{30~litros\times 80~km}{5~litros}=480~km\)
2.- Para arreglar un tejado se requieren 4 operarios, quienes tardan 18 días en completar el trabajo. Si se quiere tener listo el tejado en 12 días, ¿cuántos operarios hay que contratar?
Respuesta
A mayor cantidad de operarios, menos tiempo en completar la labor, por lo tanto, se trata de una proporcionalidad inversa.
La información se organiza colocando el par de valores conocidos en la columna izquierda:
18 días → 12 días
4 operarios → x =?
Ahora se multiplica la pareja de valores conocidos, y se divide entre el valor restante. Obsérvese que los días se cancelan arriba y abajo, y el resultado queda en días.
\(x=\frac{18~d\acute{i}as~\times 4~operarios}{12~d\acute{i}as}=6~operarios\)
A mayor número de operarios, menos días en culminar la labor.