Definición de Trabajo por una Fuerza Variable

A instancias de la Física, el trabajo W hecho por una fuerza variable que actúa sobre un objeto y que lo desplaza desde la posición A\(~\) hasta la posición B, es la integral del producto escalar entre la fuerza \(\vec{F}\) y un desplazamiento infinitesimal \(\overrightarrow{dr}\) sobre el camino C, que conecta el punto A con el B: \(W=\mathop{\int }_{A,~~~C}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}\)

Una fuerza variable es la que cambia con la posición, con el tiempo o con ambos. También son fuerzas variables las que mantienen constante su magnitud, pero cambian de orientación.

Debe notarse que el trabajo es un número real. Cuando es positivo indica que la fuerza hizo trabajo a favor del desplazamiento neto y cuando es negativo indica que la fuerza se opuso al desplazamiento.

La unidad de medida del trabajo mecánico en el sistema internacional de medidas es el “julio”, el cual es el producto de 1 newton por 1 metro.

Ejemplos de fuerzas variables

• La fuerza aplicada para mover un mueble, la cual va aumentando hasta lograr su deslizamiento.

• La fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, que depende del inverso del cuadrado de la separación entre las cargas

• La fuerza que un resorte ejerce sobre un objeto sujeto a él, la cual aumenta con el estiramiento y es opuesta al mismo.

Para simplificar, se supondrá un caso en el que la fuerza y el desplazamiento ocurren en una sola dirección, la del eje X. Por otra parte, si la fuerza varía con la posición “x” entonces el trabajo W realizado por la fuerza es equivalente al área bajo la gráfica F(x) versus x, desde \({{x}_{1}}~\)hasta \({{x}_{2}}\):

\(W=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}F\left( x \right)~dx\)

del Depto. de Física de la Universidad de Georgia

Recuérdese que solo la componente de la fuerza en la dirección del movimiento, es capaz de hacer trabajo sobre el objeto, esta es la componente tangencial de la fuerza.

Si la componente tangencial tiene el mismo sentido que el desplazamiento, el trabajo es positivo, si tiene sentido opuesto, es negativo. Por último, una fuerza perpendicular al desplazamiento no hace trabajo sobre el objeto.

Trabajo hecho para comprimir o estirar un resorte

Es sabido que, al comprimir un resorte, y luego ponerlo en contacto con un objeto, cuando el resorte se libera y se estira, es capaz de impulsar al cuerpo. Mientras más se trata de comprimir (o estirar) un resorte, más trabajo tiene que hacer el agente externo, y este trabajo queda almacenado en el resorte.

En tal caso, la ley de Hooke afirma que la magnitud de la fuerza que hay que aplicar es proporcional a la compresión o alargamiento del resorte:

\({{F}_{s}}=k\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }x=k\left( x-{{x}_{o}} \right)\)

Donde “k” es la constante del resorte y “x” es la posición del extremo no fijo del resorte una vez que se comprimió o se estiró respecto a la posición de equilibrio xo (aquella posición en la cual el resorte no está estirado ni comprimido), la cual generalmente se toma como xo = 0, en cuyo caso:

\({{F}_{s}}=k\text{x}\)

La gráfica de esta fuerza es una recta que pasa por el origen, así que para calcular el trabajo que hay que hacer para comprimir o estirar el resorte, basta con encontrar el área bajo la gráfica F versus x, entre los puntos x1 y x2 deseados.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de F en función de x. Cuando el resorte se comprime o se estira desde x = 0 hasta x = xm, el trabajo necesario se calcula el área del triángulo sombreado:

\(W=\frac{1}{2}~base~\times altura=\frac{1}{2}x\cdot kx=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}\)

del Depto. de Física de la Universidad de Georgia

Ejercicios a nivel práctico

1.- Supóngase que la gráfica de una fuerza horizontal, en función de la distancia recorrida es la siguiente:

Calcular el trabajo realizado sobre el objeto para moverlo:

a) Desde x = 0m hasta x = 2m

b) De x = 2m hasta x = 3m

c) Desde x = 3m hasta x = 5m

d) Partiendo de x = 0m hasta x = 5m

Respuestas

a) Se calcula el área del triángulo cuya base es 2m y altura es 6N:

\(W=\frac{1}{2}~base~\times altura=\frac{1}{2}\cdot 2m\cdot 6N=6~J\)

b) Nuevamente, se calcula el trabajo a través del área del triángulo, pero teniendo en cuenta en este caso que la fuerza es negativa, el signo negativo debe acompañar al resultado. Este signo indica que la fuerza ha cambiado de sentido y ahora se opone al desplazamiento, por lo tanto, el trabajo que efectúa es negativo:

\(W=\frac{1}{2}\cdot 1m\cdot \left( -6N \right)=-3~J\)

c) Se procede como en el inciso anterior:

\(W=\frac{1}{2}\cdot 2m\cdot \left( -6N \right)=-6~J\)

d) El trabajo hecho por la fuerza sobre el móvil, desde x=0 m hasta x = 5m, es la suma algebraica de los trabajos calculados previamente, este es el trabajo neto:

\({{W}_{n}}=6J-3J-6J=-3J\)

2.- Una persona transporta una carga con ayuda de un carrito, moviéndose sobre una superficie horizontal. Ella aplica una fuerza cuya magnitud va en aumento, inclinada un ángulo θ variable, con respecto a la horizontal. La fuerza, en newton, tiene la forma:

\(F\left( x \right)=50x\)

Y el coseno del ángulo variable es:

\(\cos \theta =0.8-0.06x\)

¿Cuánto trabajo hace la persona al mover el carrito desde x = 5 m hasta x = 10m? Supóngase que el carrito no tiene rozamiento.

Respuesta

Se usa:

\(W=\mathop{\int }_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}Fcos\theta dx\)

Por lo tanto:

\(W=\mathop{\int }_{5}^{10}50x\cdot \left( 0.8-0.06x \right)dx=\mathop{\int }_{5}^{10}\left( 40x-3{{x}^{2}} \right)dx=\mathop{\int }_{5}^{10}40xdx-\mathop{\int }_{5}^{10}3{{x}^{2}}dx\)

\(W=\left. 40\left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{5}^{10}-3\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{5}^{10}=20\left( ~{{10}^{2}}-{{5}^{2}} \right)-\left( ~{{10}^{3}}-{{5}^{3}} \right)=625~J\)

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Referencias bibliográficas

• Figueroa, D. 2005. Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).

• Wilson, J. 2007. Física. Prentice Hall.

Autora

Escrito por F. Zapata para la Edición #103 de Definición MX , en 09/2021. Lic. en Física por la UCV, con especialización en Física Experimental

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