Definición de Trapecio Isósceles

El trapecio isósceles es la figura geométrica perteneciente a la familia de los cuadriláteros, polígonos cerrados de cuatro lados, dos de estos paralelos entre sí y de diferente longitud, llamados bases, mientras que los dos lados no paralelos o laterales, tienen igual medida.

Características globales

Los ángulos internos del trapecio isósceles son iguales dos a dos, lo que brinda a este cuadrilátero un eje de simetría, como se advierte en la siguiente imagen:

En la figura, los lados paralelos o bases del trapecio son a y b, siendo a la base mayor y b la menor, mientras que los lados laterales inclinados son c y d. La suma de los ángulos internos es igual a 360º, rasgo común con todos los demás cuadriláteros, por lo tanto:

1) 2α + 2β = 360º

Los ángulos α y β son suplementarios (su suma es 180º), ya que el factor 2 es común y la igualdad se simplifica a:

α + β = 180º

Por su simetría, la silueta del trapecio isósceles es usada frecuentemente en numerosos elementos de diseño, tanto arquitectónico como el de objetos de ornamentación y diseño gráfico.

Cómo determinar la altura, mediana y las diagonales del trapecio isósceles

Para hacer cálculos relativos al trapecio isósceles se requiere conocer la longitud de algunos segmentos importantes que se pueden trazar sobre él. Estos segmentos son su altura (h), su mediana (M) y las diagonales (D1 y D2). En breve se verá la utilidad de conocerlas al momento de calcular el área de la figura.

• Altura, es la distancia perpendicular entre las bases del trapecio.

• Mediana, es un segmento perpendicular a la altura, por lo que es paralelo a las bases y su longitud se calcula promediando la longitud de ellas. Llamando M a la mediana, si las bases son a y b, como aparecen en la figura, su medida es: \(M=\frac{{a+b}}{2}\)

• Diagonales, son líneas que van desde una de las esquinas del trapecio hasta la esquina o vértice opuesto. Se pueden trazar dos diagonales, que en este caso, dada la simetría de la figura, son de igual medida y tienen un punto de intersección precisamente sobre ese eje de simetría. Se puede demostrar que la mediana del trapecio pasa por el punto medio de las diagonales. En términos de las bases y los lados del trapecio, las diagonales se calculan mediante: \({{D}_{1}}={{D}_{2}}=\sqrt{{a.b+{{c}^{2}}}}\)

Cómo calcular el perímetro

El perímetro P se determina fácilmente sumando las longitudes de los cuatro lados:

\(P=a+b+c+d\)

Pero en el trapecio isósceles, los laterales c y d tienen la misma longitud, por lo tanto la ecuación para el perímetro se simplifica a:

2) \(P=a+b+2c\)

Fórmulas para calcular el área

En cuanto al área del trapecio isósceles, hay varias formas para calcularla, dependiendo de cuáles segmentos notables se conozcan.

Determinar el área a partir de la altura y la mediana

Sean la mediana M y la altura h del trapecio isósceles, su área viene dada por el semi-producto entre la mediana y la altura:

3)\(A=\frac{{M\times h}}{2}\)

Área a partir de la altura y las bases

Como la mediana es el promedio de las longitudes de las bases a y b, tal como se explicó previamente, al sustituir \(M=\frac{{a+b}}{2}\) en la ecuación 3) queda:

4) \(A=\frac{{(a+b)\times h}}{2}\)

En ocasiones se encuentra esta misma fórmula con la siguiente notación:

5) \(A=\frac{{({{B}_{M}}+{{b}_{m}})\times h}}{2}\)

Donde BM se lee “base mayor” y bm “base menor”. Ambas fórmulas son equivalentes.

Área a partir de las bases y los laterales

Obsérvese el triángulo rectángulo cuyos catetos son h y (a−b)/2, siendo c la hipotenusa. Al aplicarle el teorema de Pitágoras se puede obtener el valor de h para sustituirlo en la ecuación 4) y así tener el área en términos de los lados de la figura:

6) \(h=\sqrt{{{{c}^{2}}-{{{\left( {\frac{{a-b}}{2}} \right)}}^{2}}}}\)

Sustituyendo en 4) o 5):

7) \(A=\frac{{(a+b)}}{2}\times \sqrt{{{{c}^{2}}-{{{\left( {\frac{{a-b}}{2}} \right)}}^{2}}}}\)

Área a partir de las diagonales y el ángulo entre ellas

El área del trapecio también se puede calcular al conocer la longitud D de las diagonales (ambas miden lo mismo si el trapecio es isósceles) y el ángulo θ entre ellas (ver la primera figura):

8) \(A=\frac{{{{D}^{2}}}}{2}\times sen\theta \)

Resolución de ejercicio

Hallar la diagonal, el perímetro y el área del trapecio isósceles mostrado, si se conocen los siguientes datos:

PQ = 13, NP = 5

Además se sabe que MP es perpendicular a MQ.

Respuesta

Como el trapecio es isósceles, las medidas de los lados laterales son las mismas, entonces NP = MQ = 5.

También se sabe que PQ = 13 y con el segmento MP conforman un triángulo rectángulo al que se le puede aplicar el teorema de Pitágoras, con la finalidad de calcular la longitud de MP.

MP sería uno de los catetos, MQ el otro y PQ la hipotenusa:

\(MP=\sqrt{{P{{Q}^{2}}-M{{Q}^{2}}}}=\sqrt{{{{{13}}^{2}}-{{5}^{2}}}}=12\)

La diagonal D mide 12 unidades.

Para conocer el perímetro hace falta calcular la base menor, que es el segmento MN, esto se puede hacer a partir de la fórmula para las diagonales:

\({{D}_{1}}={{D}_{2}}=\sqrt{{a.b+{{c}^{2}}}}\)

Donde a = PQ =13, c = NP = 5, D1 = D2 = D = 12 y b es el segmento MN, que se debe calcular.

Elevando al cuadrado en ambos lados:

\({{D}^{2}}={{\left( {\sqrt{{a.b+{{c}^{2}}}}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{D}^{2}}=a.b+{{c}^{2}}\)

Se despeja y se calcula b:

\(\text{b}=\frac{{{{\text{D}}^{\text{2}}}-{{c}^{2}}}}{a}=\frac{{{{{12}}^{2}}-{{5}^{2}}}}{{13}}=9.154\)

El perímetro P es, empleando la fórmula 2):

P = 13 + 9.154 + 2×5 = 32.154

Finalmente para el área se emplea la fórmula 7) y se sustituyen los valores directamente:

a = 13; b = 9.154; c = 5

\(A=\frac{{(a+b)}}{2}\times \sqrt{{{{c}^{2}}-{{{\left( {\frac{{a-b}}{2}} \right)}}^{2}}}}=\left( {\frac{{13+9.154}}{2}} \right)\times \sqrt{{{{5}^{2}}-{{{\left( {\frac{{13-9.154}}{2}} \right)}}^{2}}}}=11.077\times 4.615=51.12\)

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Autora

Escrito por F. Zapata para la Edición #103 de Definición MX , en 08/2021. Lic. en Física por la UCV, con especialización en Física Experimental

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